В третьей части даются методические указания по использованию контурного интегрирования для вычисления определенных интегралов в полубесконечных (п.п. 3.1-3.5) и конечных пределах (п.п. 3.6-3.7).

Рассмотрим интеграл

(1)

где f(x) - рациональная функция, удовлетворяющая лемме 1. Для четных f(x) интеграл (1) равен , и применим метод п.2.2. Если же f(x) не является четной функцией, то можно воспользоваться двумя способами, один из которых мы разберем сейчас, а другой отложим до п. 3.7. Первый способ прост, но применим лишь к функциям специального вида; второй является общим методом, но более трудоемк.

Попытаемся выразить интеграл по отрезку l через интеграл по действительной оси. Подставив z = r exp ( ij₀ ), получим

(3)

Выберем j₀ так, чтобы exp( inj₀ ) = 1. А именно, возьмем j₀ = 2p / n (при этом j₀ = 2 arg z₁ и отрезок l проходит точно посередине между особыми точками z₁ и z₂ ). Тогда

(4)

и из (2) имеем

(5)

Контурный интеграл в (5) может быть через вычет в особой точке z₁ = exp^{i p / n}, как . После предельного перехода R ® Ґ, при котором интеграл по дуге С_R в силу леммы 1 дает нуль, из (5) находим

(6)

Далее следует вычислить вычет и убедиться, что полученное выражение преобразуется к виду, не содержащему мнимой единицы, поскольку искомый интеграл действителен. Имеем

(7)

очевидно, что этим методом можно пользоваться только при интегрировании таких функций, которые на луче arg z = j₀ оказываются пропорциональными значениями функции на действительной оси.

дальше