3.6. Интегралы в конечных пределах с алгебраическими точками ветвления на концах интервала

Рассмотрим интеграл вида , где f (x) - рациональная функция, а a не является целым числом. Подынтегральная функция имеет точки ветвления при z = a и z = b , в то время как бесконечно удаленная точка не будет точкой ветвления. Таким образом, для выделения однозначной аналитической ветви функции достаточно сделать разрез, соединяющий точки a и b. Сделаем этот разрез по прямой и рассмотрим интеграл по замкнутому контуру Г, показанному на рис.6.

Значения подынтегральной функции на верхнем и нижнем берегах разреза отличаются множителем ei2pa. А интегралы по окружности вокруг точек a и b в пределе дают нуль (вследствие сходимости интеграла и рациональности f (x)). Поэтому искомый интеграл выражается через контурный. Далее, рассматривая Г как границу области на расширенной комплексной плоскости, можно вычислить контурный интеграл через вычеты подынтегральной функции в особых точках и бесконечности и, таким образом, найти искомый интеграл.

Рис 6.

Пример 5.

Вычислим интеграл . Здесь точки вставления при z = 0 и z = 2. Соединим их разрезом и выберем, например, ту ветвь функции, которая на верхнем берегу разреза принимает положительные значения. Очевидно, на нижнем берегу разреза подынтегральная функция будет отличаться лишь знаком. Поэтому интегралы по верхнему и нижнему берегам в сумме дадут 2J. Интегралы по окружностям | z | = r и | z - 2 | = r стремятся к нулю при r ® 0 . Это нетрудно показать, представив в одном случае z = r exp ( ij ) и z - 2 = r exp ( ij ) в другом. Основная теорема теории вычетов не применима к области внутри Г, так как функция не аналитична на линии разреза. Применяя теорему к области вне Г, получим

(28)

Откуда J = ip [ res(-3) + res( Ґ )]. Перейдем к вычислению вычетов:

(29)

Чтобы решить, какому из этих двух значений равен вычет выбранной ветви функции, необходимо осуществить аналитическое продолжение с верхнего берега разреза, где , в точку z = -3 (аналогичная процедура проводилась в примере 10 части 1). Для этого представим z = r1 eij1 и z - 2 = r2 eij2 (углы j1 и j2 для некоторого произвольного z показаны на рис.7). Тогда

(30)

На верхнем берегу разреза j1 = 0, j2 = p и

(31)

Чтобы это выражение было положительной величиной, необходимо выбрать k = 1. Таким образом, ветвь , которая была выбрана для интегрирования, определяется равенством

(32)

Осуществим переход с верхнего берега разреза в точку z = -3 по произвольному пути l, не пересекающему линии разреза. Например, выберем путь l, показанный на рис.7. Тогда в точке z = -3 будем иметь j1 = p, r1 = 3 и j2 = p, r2 = 5, и значит

Рис 7.
(33)

для определения res ( Ґ ) разложим функцию в ряд Лорана в окрестности бесконечно удаленной точки

(34)

Чтобы решить, какое разложение отвечает выбранной ветви функции, осуществим аналитическое продолжение с верхнего берега в бесконечность. С учетом (32) имеем

(35)

где r3 eij3 = z + 3. Устремим z в бесконечность, например, вверх по мнимой оси. Тогда при z ® Ґ имеем r1 = r2 = r3 и j1 = j2 = j3 = p/2 и (35) дает

(36)

Таким образом, ряд Лорана для выбранной ветви функции в окрестности бесконечно удаленной точки следующий вид:

(37)

Откуда res ( Ґ ) = -4i. Окончательно

(38)

дальше