Дополнительная сложность, возникающая при вычислении определенных интегралов с помощью контурного интегрирования, состоит в том, что во многих случаях приходится интегрировать по контуру со всем не ту функцию, от которой вычисляется определенный интеграл. Наиболее широко используется прием, в котором подынтегральная функция домножается на логарифм. Идея этого метода содержится в п.3.4 и состоит в следующем. Если рассмотреть контурный интеграл , где контур Г имеет вид, изображенный на рис.8 (аналогично рис.3.), то интегралы по верхнему и нижнему берегам разреза в сумме дадут , так как члены с логарифмом сокращаются (см. формулу (18)). Таким образом, контурный интеграл можно использовать для вычисления интеграла . При этом для функции f (x) не требуется четность или выполнение условий п.3.1.

Вычислим .
	Домножим подынтегральную функцию на Ln z, получившаяся функция многозначна. Сделаем разрез комплексной плоскости, как показано на рис.8 и возьмем ту ветвь Lnz, которая действительна на верхнем берегу разреза ( lnz = ln (x ei0) = lnx ). Тогда на нижнем берегу разреза ( lnz = ln (x ei2p) = lnx + 2pi ). Интегрирование данной ветви функции по замкнутому контуру Г, показанному на рис.8 даст
Рис 8.

(39)

В пределе R ® Ґ и r ® 0 интегралы по окружностям стремятся к нулю. Действительно, к интегралу по С_R применима лемма 1, а

(40)

так как промежуток интегрирования конечен, а . С другой стороны, контурный интеграл в (39) может быть найден по основной теореме теории вычетов. Подынтегральная функция внутри контура интегрирования имеет три простых полюса в точках z₁ = -1 = e^ip, z₂ = i = e^ip/2, z₁ = -i = e^i3p/2. (Напомним, что в соответствии с выбором ветви функции должно быть 0 Ј arg z Ј 2p. Таким образом,

(41)

Откуда

(42)

Аналогичный метод можно применить и при вычислении интегралов в конечных пределах от рациональных функций . Для этого рассмотрим интеграл по контуру, показанному на рис.9.

Вычислим , 0 < a < b. Рассмотрим контурный интеграл (см. рис.9). Представим z - a = r1 eij1, z - b = r2 eij2 и выберем, например, ветвь , определенную следующим равенством:
		(43)
	Тогда на верхнем берегу разреза, где j1 = 0, j2 = p
		(44)
Рис 9.

А на нижнем, где, например, j₁ = 0, j₂ = -p

(45)

Поэтому

(46)

так как интегралы по окружностям стремятся к нулю. Тогда

(47)

Используя (43) и аналитически продолжая в точки 0 и -1, получим и . Откуда

(48)

дальше