В п. 2.1 мы свели определенный интеграл к контурному с помощью замены. Чаще, однако, находят действительный определенный интеграл , рассматривая его как часть комплексного контурного интеграла , вычисляемого по основной теореме теории вычетов, при условии, что Г включает в себя интервал (а ,b) действительной оси. При этом, конечно, возникает вопрос, какой вклад в интеграл вносит остальная часть контура Г.

Рассмотрим интеграл в бесконечных пределах

(7)

	Несобственный интеграл в бесконечных пределах понимается, как . Пусть f(x) допускает аналитическое продолжение на комплексные значения аргумента. Возьмем замкнутый контур, состоящий из отрезка [-R, R] действительной оси и полуокружности CR ( |z| = R), лежащей, например, в верхней полуплоскости (рис. 1). Интеграл по такому замкнутому контуру может быть вычислен по основной теореме теории вычетов, если функция f(z) имеет в верхней полуплоскости конечное число однозначных изолированных точек. А именно, когда R настолько велико, что все особые точки верхней полуплоскости попали внутрь контура, то
Рис 1.

(8)

Вычислит интеграл по полуокружности , вообще говоря, нисколько не проще, чем искомый интеграл , но если f(z) в бесконечности стремиться к нулю столь быстро, что , то ситуация упрощается. Тогда из соотношения (8) в пределе R ® Ґ получим

(9)

В необходимых случаях путь интегрирования можно замкнуть и снизу, т.е. другой | z | = R, лежащий в нижней полуплоскости. Рассмотрение такого контура интеграла дает результат, отличающийся от (9) знаком (из-за изменения направления обхода контура) и тем, что суммирование будет вестись по особым точкам, расположенным в нижней полуплоскости.

Вычислим интеграл , встречающийся в физических расчетах. Рассмотрим

(10)

где замкнутый контурный интегрирования Г показан на рис. 1. Из двух особых точек ±ia подынтегральной функции внутрь контура интегрирования попала одна точка z = ia (считаем a > 0). Поэтому

(11)

С другой стороны, контур Г состоит из двух частей: отрезка действительной оси [-R, R] и полуокружности C_R и значит

(12)

Из (11) и (12) найдем

(13)

Переходя в (13) к пределу R ® Ґ, получим

(14)

Для вычисления интеграла по полуокружности представим z = R e^ij тогда

(15)

Так как промежуток интегрирования в (15) конечен, а подынтегральная функция с ростом R стремиться к нулю, то , и согласно (14)

(16)

Конечно, такую оценку интеграла по С_R в каждом конкретном случае можно и не делать, если сформулировать в общем, виде условия, при которых интеграл по полуокружности С_R стремиться к нулю. Известно, что модуль интеграла не превосходит произведения максимума модуля подынтегральной функции на длину пути интегрирования. Длина дуги С_R равна pR и значит

(17)

Чтобы это выражение стремилось к нулю при R ® Ґ, необходимо, чтобы f(z) убывало в бесконечности быстрее, чем 1/R. Точная формулировка дается следующей леммой.

Пусть функция f(z) является аналитической в области | z | > R, Im z і 0 и zf (z) равномерно относительно arg z ( 0 Ј arg z Ј p ) стремиться к нулю при | z | ® Ґ, тогда

(18)

где C_R - полуокружность | z | = R, Im z і 0.

дальше