При вычислении определенных интегралов мы до сих пор стремились замкнуть путь интегрирования таким образом, чтобы возникший дополнительный интеграл стремился к нулю или выражался через искомый интеграл. Существует еще одна возможность - выбрать путь, замыкающий контур интегрирования, таким образом, чтобы интеграл по нему известен. Рассмотрим этот метод на примере.

Вычислим важные в теории дифракции интегралы Френеля и .

Задача фактически сводится к вычислению одного комплексного интеграла . Наиболее близок к искомому интеграл Пуассона . В связи с этим попробуем выбрать путь, замыкающий контур интегрирования так, чтобы интеграл по нему выражался через интеграл Пуассона.
	Для того чтобы iz2 перешло в -r2, должно быть . Следовательно, контур интегрирования должен состоять из трех частей (см. рис. 2): отрезка действительной оси [0, R] (искомый интеграл), отрезка луча z = r exp ( ip / 4 ), 0 Ј p Ј R (интеграл, сводящийся к интегралу Пуассона) и дуги CR: | z | = R, 0 Ј arg z Ј p/4 Сам контурный интеграл равен нулю в силу аналитичности подынтегральной функции. Поэтому
Рис 2.

(8)

Трудности возникают лишь с оценкой интеграла по C_R. Именно

(9)

где подставлено z = R e ^ij = R ( cos j + i sin j ) и использовано, как и при доказательстве леммы Жордана, очевидное неравенство sin 2j № 2j ( 0 Ј j Ј p/4 ). Из (9) видно, что при R ® Ґ интеграл по C_R стремится к нулю, и таким образом

(10)

Окончательно

дальше