Рассмотрим интеграл , где f(x) - рациональная функция. Естественно, в качестве f(x) можно брать только такие функции, при которых интеграл является сходящимся.

Подынтегральная функция, аналитически продолженная на комплексную плоскость, имеет точки ветвления логарифмического типа при z = 0 и z ® Ґ. Попробуем применить для вычисления данного интеграла метод, использованный в предыдущем пункте. Сделаем разрез и рассмотрим по контуру Г (рис.3). Предположим, что интегралы по дугам C_r и C_R стремятся к нулю (как и в п.3.3, это можно обосновать). Выберем ветвь Ln z, соответствующую, например, 0 Ј arg z Ј 2p. Тогда на верхнем берегу разреза ln z = ln x, а на нижнем ln z = ln x + 2pi. Интегралы по верхнему и нижнему берегам разреза дадут

(18)

Видно, что искомый интеграл не вошел в окончательное выражение (18) и, следовательно, не может быть определен таким методом.
	В случае, если функция f(x) четная, т.е. выполняется соотношение f(-x) = f(x) , вычисление данного интеграла можно осуществить следующим путем.
	Рассмотрим контурный интеграл . Контур Г изображен на рис.4, линия разреза может быть любой, важно лишь, чтобы она лежала в нижней полуплоскости. Выберем ту ветвь Ln z, для которой при z = x > 0 справедливо Ln z = ln x. Тогда Ln z при z = x < 0 равен ln ( r eip ) = ln r + ip. В пределе R ® Ґ и r ® 0 интегралы по дугам CR и Cr стремятся к нулю, и
Рис 4.

(19)

где была использована четность f (x). Отсюда

(20)

Контурный интеграл вычисляется по основной теореме, а интеграл относится к виду, разобранному в п. 2.2 и требует отдельного вычисления. Если воспользоваться результатом п.2.2 (формула (9) часть 2), то

(21)

Прежде чем использовать подобного рода формулы для вычисления конкретного интеграла, необходимо тщательно проверить выполнение всех условий, наложенных на f(x) . Еще лучше повторить вычисления, приводящие к такой формуле с конкретной функцией, так как иногда некоторые условия, накладываемые на f (x), в явном виде не формируются. Так, например, при выводе (21) неявно предполагалось, что f (x) не имеет особых точек на действительной оси.

Коротко разберем случай, когда f (x) не является четной. Здесь для вычисления следует рассмотреть интеграл по контуру Г, указанному на рис.3. Интегралы по верхнему и нижнему берегам разреза тогда дадут

(22)

Из последней формулы можно найти искомый интеграл, если предварительно вычислить . Такой же прием применяют и при вычислении интегралов, содержащих ln^m x.

дальше