К этому типу относятся интегралы вида

(11)

где a - нецелое действительное число, f(x) - рациональная функция.Интеграл (11), рассматриваемый как функция параметра a, есть преобразование Меллина функции f(x). Это преобразование применяется в математической физике и в аналитической теории чисел.

Для вычисления интеграла (11) аналитически продолжим подынтегральную функцию на комплексную плоскость. Функция za f (z) является многозначной. Для того чтобы сделать возможным применение теории вычетов, выделим однозначную ветвь функции, соединив точки ветвления z = 0 и z = Ґ линией разреза. Линию разреза надлежит провести вдоль пути интегрирования в (11), т.е. по действительной полуоси x > 0. Путь интегрирования, попавший, например, на верхний берег разреза, замкнем так, как показано на рис.3.
	Пусть интегралы по дугам CR и Cr стремятся к нулю при r ® Ґ и R ® Ґ (на самом деле это следствие сходимости интеграла (11) и рациональности f(x) ), Интеграл по нижнему берегу разреза выражения через искомый интеграл. Действительно, функция на нижнем берегу разреза принимает те же значения, что и на верхнем, а za отличается множителем ei2p a от значений xa на верхнем берегу разреза. Тогда интеграл (11) выражается через контурный интеграл , который может быть вычислен с помощью теории вычетов.
Рис 3.

Вычислим интеграл Аналитическое продолжение подынтегральной функции представляет собой многозначную (трехзначную) функцию . Разрез комплексной плоскости по действительной оси как это показано на рис.3, разбивает данную функцию на три однозначные ветви. Можно выбрать любую из них. Обычно используют ту ветвь функции. Которая на верхнем берегу разреза принимает действительные положительные значения. Если представить , то данная ветвь получится при k = 0 и 0 Ј j Ј 2p. Тогда точкам комплексной плоскости на верхнем берегу разреза соответствует значение j = 0 а точкам на нижнем берегу разреза j = 2p. Соответственно, при z = x на верхнем берегу разреза равен , а на нижнем .

Интеграл по контуру Г, представленному на рис.3, разбивается на сумму интегралов

(12)

С другой стороны, по основной теореме теории вычетов

(13)

Осуществим предельные переходы r® 0 и R ® Ґ. К интегралу по С_R применима лемма 1, а предел интеграла по C_r легко можно найти, представив в нем z = r exp ( ij )

(14)

Таким образом,

(15)

Откуда

(16)

Вычисление вычетов в полюсах первого порядка z = ±2i не представляет труда. Важно лишь выбирать значения , соответствующие данной ветви функции. В нашем случае имеем и . Поэтому

(17)

дальше