Интегралы, содержащие показательную функцию в числителе и знаменателе подынтегральной функции, часто не попадают под действие леммы Жордана. Выбор пути, замыкающего контур интегрирования тогда можно попытаться осуществить подобно тому, как это сделано в следующем примере.

В электронной теории металлов возникает необходимость вычисления интеграла , где 0 < a < 1.

	Здесь нельзя воспользоваться методами пунктов 2.2 и 2.3, так как условия леммы 1 и 2 не выполнены ни в верхней, ни в нижней полуплоскости. Попытаемся подобрать путь, замыкающий контур интегрирования так, чтобы интеграл по нему выражался через искомый. А именно, выберем контур интегрирования в виде границы прямоугольника (рис. 8). Интеграл по прямой L (z = x + iy0, x меняется от R до - R)
		(49)
Рис 8.

будет выражаться через искомый интеграл, если выбрать y₀ = 2p. Действительно в этом случае

(50)

Тогда контурный интеграл

(51)

где через l_R и l_-R обозначены пути интегрирования по отрезкам z = R + iy ( y меняется от 0 до 2p ) и z = - R + iy ( y меняется от 2p до 0) соответственно. Интегралы по l_R и l_R в пределе R ® Ґ стремятся к нулю. Например,

(a < 1)

(52)

И аналогично для l_-R при a > 0. После предельного перехода R ® Ґ первый интеграл в правой части (51) дает J(a), и получим (0 < a < 1)

(53)

Результат (53) можно получить другим способом. Для этого рассмотрим значение интеграла с комплексным a = a' + ia". При 0 < a' < 1 и a" > 0 лемма Жордана будет применима к интегралу , если последовательность дуг C_R , лежащих в верхней полуплоскости, выбрать так, чтобы дуги не проходили через особые точки z_k = ip ( 2k + 1 ). Тогда

(54)

В (54) для суммирования ряда мы воспользовались формулой суммы бесконечной геометрической прогрессии. Результат (54), полученный для комплексных a с Ima>0, далее аналитически продолжается на действительные значения a, что и приводит к соотношению (53).

дальше