Рассмотрим вычисление несобственных интегралов вида

(19)

и интегралов , , очевидным образом сводящихся к (19). При этом будем предполагать, что f(z) рациональная функция. Интегралы такого рода возникают при разложении функций в ряды и интеграл Фурье и играют важную роль во многих физических задачах.

Особенность вычисления этих интегралов по сравнению с интегралами от рациональных функций (п. 2.2) обусловлена тем, что лемма 1, вообще говоря, не применима к функции f(z) e^iaz поскольку e^iaz не ограничена в окрестности z=Ґ, а имеем там существенно особую точку. Прежде чем сформулировать соответствующую лемму, проведем нестрогое рассмотрение , поясняющее содержание данной леммы. А именно, положив z = R e^ij = R (cos j + isin j), получим для модуля показательной функции . Эта величина при R ® Ґ ведет себя по-разному в зависимости от знака sinj Так, для a > 0 она стремиться к нулю в верхней полуплоскости, где sinj > 0 и неограниченно растет в нижней. А при a < 0 наоборот, | e^iaz | стремиться к нуль в нижней полуплоскости, где sinj < 0 и неограниченно растет в верхней полуплоскости комплексной переменной. Таким образом, для функции f(z) e^iaz при a > 0 лемма 1 будет выполняться в нижней полуплоскости и не будет выполняться в верхней. А при a < 0 наоборот. Кроме того, снижаются по сравнению с леммой 1 требования к f(z), так как множитель e^iaz обеспечивает дополнительно стремление подынтегральной функции к нулю. Соответствующая лемма известна под названием леммы Жордана.

Пусть функция f(z) является аналитической в области | z | > R, Im z і 0 , и f(z) равномерно относительно arg z ( 0 Ј arg z Ј p ) стремиться к нулю при | z | ® Ґ, тогда при a > 0

(20)

где C_R - полуокружность | z | > R, Im z і 0,

При a < 0 аналогичное утверждение справедливо и в нижней полуплоскости.

Лемма Жордана остается справедливой и в том случае, когда функция f(z) удовлетворяет сформулированным выше условиям в полуплоскости Im z і a (а - фиксированное число положительное или отрицательное), а интегрирование производится по дуге полуокружности | z - ia | = R в полуплоскости Im z і a. В этом легко убедиться, сделав замену z = z' + ia

Вычислим интеграл . Поскольку лемма 2 не применима к интегралу ни в нижней, ни в верхней полуплоскости, представим sin 2x = ( e^i2x - e^-i2x ) / 2 и разобьем интеграл на два

(21)

	При вычислении интегралов J1 и J2 уже можно воспользоваться леммой Жордана. А именно
		(22)
	для дуги , лежащей в верхней полуплоскости (т.к. a = 2 > 0 и ~ при z ® Ґ и
		(23)
Рис 2.

для дуги , лежащей в нижней полуплоскости. Поэтому рассмотрим следующие контурные интегралы (см. рис. 2):

(24)

и

(25)

В пределе R ® Ґ в правых частях равенств (24) и (25) получим соответственно J₁ и J₂. Контурные интегралы вычислим по основной теореме теории вычетов. Особые точки суть решения уравнения z² + 2z + 2 = 0, а именно, z₁ = -1 + i, z₂ = -1 - i. Внутри контура Г₊ лежит точка z₁, внутри Г_- - точка z₂. Поэтому

(26)

и

(27)

Знак минус в (27) обусловлен отрицательной ориентацией контура Г_- относительно особой точки z₂. Тогда из (21), с учетом (24) - (27), получим

(28)

В подобных примерах нет необходимости вычислять два интеграла J₁ и J₂, достаточно вычислить один из них, например J₁, если поступить следующем образом. В интеграле представим sin 2x = Im e^i2x и вынесем знак мнимой части за интеграл, что возможно, так как остальная часть подынтегральной функции, а также путь интегрирования действительны, тогда получим

(29)

Найдем J₁, вычислив контурный интеграл (26). Имеем

(30)

Кроме приложения к рядам Фурье, интегралы, сходные с (19), встречаются в формуле обращения преобразования Лапласа. Интегральное преобразование Лапласа или операционное исчисление широко используется для решения различных физико-технических задач, сводящихся к линейным дифференциальным уравнениям в частных или полных производных. Формула обращения выглядит так:

(31)

где с помощью пределов s ± iҐ обозначен путь интегрирования по прямой Re z = s, проходимый снизу вверх, причем s выбрано так, что все особые точки подынтегральной функции расположены слева от этой прямой. Параметр t предполагается вещественным. В физических задачах t - время.

Замена z = s + iz' сводит интеграл (31) к виду (19). Удобнее, однако, непосредственно вычислять этот интеграл, используя соответствующую модификацию леммы Жордана. А именно, замыкая контур интегрирования слева, при t > 0 и справа при t < 0.

Вычислим интеграл

, где s > 0.

	Рассмотрим интеграл по прямой Re z = s от точки s - iR до точки s + iR, а после окончания вычислений устремим R к бесконечности. Для t > 0 замкнем путь интегрирования слева полуокружностью CR: | z - s | = R, Re z < s (рис .3). Именно в левой полуплоскости | etz | = etRcosj стремиться при t > 0 к нулю при R ® Ґ и, значит, там выполняется лемма Жордана. Внутри контура интегрирования имеется две особых точки z1,2= ± i, поэтому контурный интеграл
Рис 3.

(32)

В пределе R ® Ґ, отсюда получим

(33)

Для t<0 лемма Жордана выполняется в правой полуплоскости. Путь интегрирования от s - iR до s + iR замкнем полуокружностью | z - s | = R, Re z > s, лежащей справа от прямой Re z = s. Поскольку внутри контура интегрирования нет особых точек, контурный интеграл равен нулю и, следовательно, J(t) = 0 при t<0. Случай t = 0 можно рассмотреть, замыкая путь интегрирования как слева, так и справа (здесь работает лемма 1). Очевидно, J(0) = 0.

дальше