Если одному и тому же значению z отвечает не одно, а несколько (или даже счетное множество) значений F(z), то такая функция называется многозначной. Многозначными являются функции , Ln z, Arcsin z и др.

Точка z = z₀ называется точкой ветвления многозначной функции F(z), если при обходе контура вокруг z₀ по любому замкнутому контуру, лежащему в окрестности z₀, значение функции F(z) не возвращается к своему исходному значению. При этом предполагается, что F(z) изменяется непрерывно при движении точки z.

Если с помощью разрезов плоскости комплексной переменной исключить возможность обхода точек ветвления, то многозначная функция F(z) распадается на несколько однозначных ветвей f_k(z). Для каждой однозначной аналитической ветви f_k(z) основная теорема теории вычетов справедлива в области, не содержащей разрезы. Задание конкретной ветви многозначной аналитической функции осуществляется указанием сделанных разрезов и указанием значения функции в какой-либо одной точке.

Чтобы решить, какому из этих значений равен вычет указанной ветви функции, необходимо осуществить аналитическое продолжение из точки z = 1 в точку z = -1 по произвольной кривой l, не пересекающей линию разреза. Значение функции в точке z = r e ^{i j} даются формулой

(32)

Для того чтобы , надо положить k = 0, тогда при j = 0 и r = 1 получим, что действительно . При движении z по кривой l угол j = arg z увеличивается от значения j = 0 в точке z = 1 до значения j = p в точке z = -1. Таким образом, для указанной ветви

(33)

Если бы разрез был проведен в верхней полуплоскости, то аналогичное рассмотрение привело бы к значению j = -p для z = -1 и res (-1) = -i. В данном случае значение вычета зависит от того, в верхней или нижней полуплоскости выбран разрез, и не зависит от конкретного направления разреза в этих полуплоскостях.

Найдем вычет в точке z = 0 для той ветви функции, которая на верхнем берегу разреза принимает положительные значения (разрез показан на рис. 3).
	Слова "на верхнем берегу разреза" означают, что рассматриваются точки, расположенные в непосредственной близости к линии разреза со стороны верхней полуплоскости, т.е. такие, для которых Im z = + 0. Так как z = 0 простой полюс, то . Но , и надо выяснить, какой знак здесь следует взять. Положив z - 1 = r1 e j1, z - 2 = r2 e j2, получим
		(34)
Рис 3.

где k = 0, 1. В произвольной точке z₊ на верхнем берегу разреза j₁ = 0, j₂ = p и, значит,

(35)

Чтобы это выражение было положительной величиной, необходимо выбрать k = 1. Тогда для данной ветви функции

(36)

Из точки z₊ в точку z = 0 можно перейти по кривой l₁. В точке z = 0 будем иметь j₁ = p, j₂ = p, r₁ = 1, r₂ = 2 и согласно (36)

(37)

Переход из z₊ в z = 0 можно осуществить также по пути l₂, тогда в точке z = 0, j₁ = - p, j₂ = - p, но по-прежнему

(38)

Таким образом, при вычислении вычетов от многозначных функций следует обращать особое внимание на правильность выбора ветви функции.

дальше