1.4. Основная теорема теории вычетов

Обобщением соотношения (1) является основная теорема теории вычетов. Она утверждает, что для аналитической функции f(z), имеющей внутри замкнутого контура Г конечное число особых точек однозначного характера,

(26)

где сумма берется по всем особым точкам zk, содержащимся внутри Г, а направление интегрирования предполагается положительным.

Эта теорема сводит задачу о вычислении интеграла по замкнутому контуру к нахождению вычетов в особых точках.

Пример 8.

Вычислим .
Подынтегральная функция имеет три простых полюса в точках: i, -i, 3.

Из них внутрь контура интегрирования попали лишь два (см. рис. 1). По основной теореме теории вычетов J = 2pi [ res (i) + res (-i) ]. Вычеты определим по формуле (9), выбрав j ( z ) = 1/ ( z - 3), а y ( z ) = z 2 + 1. Тогда

(27)
Рис 1.

Рассмотрим f(z) из данного примера на расширенной комплексной плоскости. Окружность | z | = 2 будем считать границей области | z | > 2. Условия основной теоремы теории вычетов выполнены для этой области, поскольку f(z) там аналитична за исключением полюса при z = 3 и, быть может, точки z = Ґ Тогда, с учетом того, что положительное направление интегрирования по отношению к области | z | < 2 является отрицательным для | z | > 2, имеем

(28)

При z ® Ґ функция f (z) ~ z-3, поэтому res (Ґ) = 0 и, значит,

(29)

что согласуется с (27).

Обобщением этого результата является следующая теорема

Если функция f(z) однозначна и аналитична во всей комплексной плоскости, за исключением только конечного числа особых точек, то сумма всех ее вычетов (включая вычет в бесконечно удаленной точке) равна нулю.

Действительно, интеграл по окружности | z | = R, где R настолько велико, что все конечные особые точки zk лежат внутри окружности, равен . С другой стороны, этот интеграл выражается через res (Ґ) Получилось равенство

(30)

из которого и следует утверждение теоремы.

Функция 1/sinz из примера 7 иллюстрирует ситуацию, когда сформулированная теорема не применима.

дальше