Расширенная комплексная плоскость включает в себя конечные комплексные числа, а также число z = Ґ Окрестностью числа z = Ґ будет множество точек z, для которых справедливо соотношение | z | > R.

Вычет в бесконечно удаленной точке определяется формулой (1), где в качестве Г можно взять, к примеру, окружность | z | = R. R должно быть настолько велико, чтобы конечные столбцы точки не попали внутрь Г, т.е. в данном случае в область | z | > R. Положительному направлению обхода соответствует движение по часовой стрелке. Проинтегрировав почленно функцию, разложенную в ряд Лорана в окрестности бесконечно удаленной точки

(22)

так, как это делалось в (3) и (4), получим

(23)

Знак минус возник из-за того, что направление интегрирования по j теперь противоположно направлению в (4). Формула (23) является основой для вычисления вычета в бесконечно удаленной точке.

Классификация особенностей в бесконечно удаленной точке проводится следующим образом. Если положить W = 1/z, то окрестность бесконечно удаленно точки плоскости перейдет в окрестность нуля плоскости W, и тем самым изучение поведения функции f(z) в бесконечности сведется к изучению поведения функции в точке W = 0. Аналогично п. 1.2 будет конечен, равен бесконечности или неопределен в зависимости от того, будет ли точка z = Ґ соответственно, правильной, полюсом или существенно особой. Но есть и важное различие. Вычет функции в бесконечно удаленной точке может быть отличен от нуля, даже если точка z = Ґ является правильной для f(z). Например, f (z) = 1/z имеет в бесконечности правильную точку (более того, ), но С_-1 = 1 и, значит, res ( 1/z, Ґ ) = -1. Для удобства основные результаты теории вычетов собраны в таблицу. В ней представлена классификация, как конечных особых точек, так и особенностей в бесконечности и приведены формулы для вычисления вычетов.

Найдем вычет f (z) = z¹0 (z+1)^-7 в бесконечности. При z ® Ґ данная функция f (z) ~ z₃, из чего можно заключить, что точка z = Ґ является для неё полюсом третьего порядка. Для вычисления вычета разложим f(z) в ряд. Считая | z | достаточно большим, получим:

(24)

Здесь был использован биноминальный ряд, что возможно для 1 / | z | < 1. Из этого разложения видим, что z = Ґ действительно является полюсом третьего порядка для f (z) и, что

(25)

Найдем вычет f ( z ) = z ( z³ + 1)^-1 sin (1/ z) в бесконечно удаленной точке. Так как при z ® Ґ sin(1/z) ~ z^-1, а (z₃+1)^-1 ~ z^-3, то f(z) ~ z^-3. Отсюда заключаем, что точка z = Ґ является правильной. Поскольку разложение данной функции в ряд Лорана начинается с члена z^-3, то C_-1 и вместе с ним res [ f ( z ),Ґ ] равны нулю.

Исследуем функцию f ( z ) = 1/sin z в окрестности бесконечно удаленной точки. Данная функция имеет особые точки (полюсы первого порядка) при z = pk, где k = 0, ±1, ±2,... В любую окрестность | z | > R бесконечно удаленной точки попадает бесконечное число этих полюсов, поэтому точка z = Ґ является неизолированной особой точкой. В ней не определено понятие вычета, а также невозможно разложение в ряд Лорана в окрестности этой точки.

Таблица 1.

Классификация особых точек и формулы для вычисления вычетов

Тип особой точки	Разложение функции в ряд Лорана в окрестности особой точки	Предел f(z) при z ® z0	Вычет	Формула для вычисления вычета
z0 - правильная точка		С0	0	-
z0 - простой полюс		Ґ	C-1	или формула (9)
z0 - полюс порядка n		Ґ	C-1	или из разложения в ряд
z0 - существенно особая точка		не существ.	C-1	исключительно из разложения в ряд Лорана
Ґ - правильная точка		C0	-C-1	из разложения в ряд
Ґ - полюс порядка n		Ґ	-C-1	то же
Ґ -существенно особая точка		не существ.	-C-1	-

дальше