ГЛАВА 4

 

ЭЛЕКТРОПРОВОДНОСТЬ ТВЕРДЫХ ТЕЛ

 

4.1. Дрейф свободных носителей заряда в электрическом поле

 

Рис. 4.1. Равновесное (а) и стационарное (б) заполнение состояний электронами в  k-пространстве в постоянном электрическом поле

         Возникновение  электрического  тока  в металле связано с дрейфом электронов проводимости во внешнем электрическом поле. В зонной теории твердых тел показано,  что  необходимым условием существования электропроводности кристаллов является наличие в их энергетической диаграмме частично заполненных электронами энергетических зон.  При Т = 0К газ электронов в  металле  полностью  заполняет все состояния внутри изоэнергетической поверхности в k-пространстве, соответствующей энергии Ферми. Такая поверхность в k-пространстве называется поверхностью Ферми. Поверхность Ферми отделяет при T = 0K область занятых электронных состояний в k-пространстве от области, в которой электронов нет. Для газа свободных носителей заряда поверхность Ферми представляет собой сферу (рис. 4.1, а). Положение центра сферы Ферми в начале системы координат говорит о том,  что направленный перенос заряда в этом состоянии, которое называют равновесным, отсутствует.

         Импульс электрона связан с его волновым вектором соотношением

 

                                    ,                                                    (4.1)

здесь  - эффективная масса электрона.

         Электрическое поле вызывает ускорение электронов и их  переход

в новые состояния,  лежащие правее исходных, если вектор электрического поля противоположен оси х (рис. 4.1,б.).

         Уравнение движения  электрона под действием электрического поля

будет иметь вид

 

                                                                        (4.2)

 

Под действием постоянной силы F, действующей в течение промежутка времени Dt, каждый электрон,  находившийся  в  состоянии  с волновым вектором k, изменит свое состояние так, что его волновой вектор увеличится на . Таким образом, в отсутствие столкновений внешнее постоянное электрическое поле однородно смещает все точки сферы Ферми на величину Dk. Интегрируя уравнение (4.2), получим

 

                                          .                                           (4.3)

 

         Вследствие приращения импульса у электронов кристалла возникает некоторое отличное от нуля приращение скорости, направленное против вектора напряженности внешнего электрического поля

 

                                                                                    (4.4)

 

Это приращение скорости с течением времени не будет увеличиваться до бесконечности, так как в кристалле всегда имеются процессы рассеяния электронов, стремящиеся вернуть распределение электронов по скоростям к хаотическому. Рассеяние происходит вследствие ряда причин: из-за дефектов решетки, присутствия в ней различных примесей, столкновений с другими носителями заряда, нарушений периодичности потенциала решетки в результате тепловых колебаний решетки (рассеяние на фононах) и т. д. Процессы рассеяния стремятся вернуть электроны  в  равновесное состояние.  Если внешнее электрическое поле постоянное,  то между этими двумя процессами устанавливается  динамическое  равновесие, наступает так называемое стационарное состояние (рис. 4.1,б). Если среднее время между двумя последовательными столкновениями равно t_n, то стационарное смещение  сферы  Ферми определяется выражением (4.3), в котором Dt следует заменить на t_n. Параметр t_n характеризует время, в течение которого поле действует на электрон  и называется временем релаксации электронов. Следовательно, в стационарном состоянии каждый электрон имеет дополнительное приращение скорости

 

                                                                                   (4.5)

 

Это дополнительное к хаотическому тепловому движению электронов движение под действием электрического поля называется дрейфом электронов. Оценки скорости дрейфа электронов в кристалле меди в полях напряженности Е = 10^-8 В/м дают величину v_др » 0,3 м/с.  Это намного порядков ниже скорости теплового хаотического движения электронов в отсутствии поля (1,6×10⁶ м/с). Поэтому с приложением поля средняя скорость электронов в проводнике остается практически неизменной.

         Важной характеристикой кристалла, определяющей величину плотности электрического тока в нем, является подвижность носителей заряда (электронов и дырок). Подвижностью называют величину,  равную  отношению скорости дрейфа электронов или дырок к напряженности электрического поля. Для электронов подвижность

 

                                   ,                                               (4.6)

 

для дырок

                                      ,                                                  (4.7)

 

где t_p и - время релаксации и эффективная масса дырки соответственно. Таким образом,  подвижность - это дрейфовая скорость, приобретенная  носителями заряда в электрическом поле единичной напряженности.

 

4.2. Электропроводность металлов

 

         Дрейф электронов определяет величину плотности электрического тока в кристалле. Построим мысленно в объеме проводника цилиндр с основанием, равным единице площади, и образующей, равной скорости дрейфа v_др и направленной вдоль дрейфа  (рис. 4.2).  Все  электроны, заключенные в этом цилиндре,  в течение 1 с пройдут через его основание и образуют ток с плотностью

 

                                   ,                                          (4.8)

 

Рис. 4.2. К расчету удельной электропроводности металла

 

здесь n - концентрация электронов проводимости.

         Выражение (4.8) имеет форму закона Ома. Электропроводность s_n  металлов (электронная электропроводность) есть по определению  коэффициент  пропорциональности  между плотностью тока j и напряженность электрического поля Е,  т.е. j =s_nЕ. Следовательно, из (4.6) и (4.8) имеем

 

                                                                     .                                   (4.9)

 

Величина r_n, обратная удельной электропроводности, называется удельным электросопротивлением:

 

                                 .                                      (4.10)

 

         Таким образом, электропроводность (электросопротивление) металлов обусловлена концентрацией электронов проводимости и их подвижностью. Концентрация электронов проводимости металлов от температуры практически не зависит. Подвижность электронов  в  кристалле  определяется механизмами рассеяния электронов проводимости и существенно зависит от температуры. Как указывалось выше, электросопротивление большинства   металлов  обусловлено  рассеянием электронов на различных видах нарушений регулярной кристаллической структуры решетки. Эти нарушения можно разделить на две группы: 1) тепловые колебания ионов кристаллической решетки (фононы); 2) статические дефекты кристаллической решетки (точечные дефекты, дислокации, статические геометрические искажения и др.).

         В соответствии с этим и электросопротивление реального металла, в котором в той или иной степени присутствуют все виды рассеяния электронов проводимости, приближенно представляют в виде двух слагаемых

 

                                       ,                                         (4.11)

 

здесь r_о - часть удельного электросопротивления, обусловленная рассеянием электронов на статических дефектах, r(T) - часть удельного электросопротивления, обусловленная рассеянием на фононах.

         При  комнатной температуре  и  выше  основное  значение  имеет  взаимодействие электронов с решеточными фононами (электрон-фононное рассеяние). Этим механизмом рассеяния обусловлена хорошо известная линейная зависимость удельного электросопротивления металлов от температуры:

 

.

 

Постоянная a называется температурным коэффициентом сопротивления.

Рис. 4.3. Зависимость удельного электро-сопротивления металла от температуры

         При очень низких температурах, когда влиянием тепловых колебаний на рассеяние электронов можно пренебречь, сопротивление металлов практически перестает зависеть от температуры (рис. 4.3). Предельное значение r_о, к которому стремится сопротивление металловпо мере понижения температуры к абсолютному нулю, называется остаточным сопротивлением. Остаточное сопротивление металлов является очень важной характеристикой, чувствительной к концентрации дефектов в решетке. Например, для кристалла меди чистоты 99,999% остаточное сопротивление приблизительно в 1000 раз меньше удельного электросопротивления при комнатной температуре. Для цинка чистоты 99,99999% (один из наиболее чистых полученных в настоящее время металлов) это отношение составляет 10⁵.

         В промежуточной области температур электросопротивление металлов определяется приближенной формулой:

 

                                      ,                                    (4.12)

 

здесь A и B - величины, не зависящие от температуры.

 

4.3. Электропроводность собственных полупроводников

 

         Рассуждения, приведенные выше при выводе формулы для электропроводности металла,  справедливы как для электронов проводимости, так и для дырок. Для дырочного полупроводника удельная электропроводность дырок

 

                                   ,                                            (4.13)

 

где p - концентрация дырок.

         В общем  случае  удельная  электропроводность  определяется как электронами, так и дырками:

 

                                  .                                 (4.14)

 

Электронная составляющая проводимости определяется первым слагаемым в формуле (4.14),  второе слагаемое связано с дырочной проводимостью полупроводника.

         Величина удельной  проводимости полупроводника и ее температурная зависимость зависят от концентраций носителей  (электронов  и дырок) и их подвижностей, которые в свою очередь определяются типом полупроводника. В собственном  полупроводнике  концентрации  электронов и дырок одинаковы (n = p = n_i = p_i, где n_i и p_i - собственные концентрации носителей). Тогда удельная электропроводность s_c собственного полупроводника будет равна

 

                                      .                                        (4.15)

 

Электропроводность собственного полупроводника  называют  собственной электропроводимостью и обозначают обычно  s_с.

         Концентрация электронов в собственном полупроводнике определяется выражением (3.17). Логарифмируя это выражение, получим

 

                                     .                                     (4.16)

 

Первое слагаемое в этом выражении слабо зависит от температуры, поэтому график зависимости  от 1/T представляет собой прямую линию (рис. 4.4).

Рис. 4.4. Температурная зависимость концентрации носителей заряда в собственном полупроводнике

         Таким образом,  концентрация носителей заряда в собственных полупроводниках зависит от ширины запрещенной зоны E_g и температуры Т. Для  германия,  например,  E_g = 0,72 эВ (при T = 300 K) и концентрация собственных носителей заряда при комнатной температуре составляет приблизительно 2,5×10¹⁹ м^-3.  Для  кремния соответственно E_g = 1,1 эВ и n_i = 1,5 × 10¹⁶ м^-3.

Другим фактором, влияющим на температурную зависимость электросопротивления собственных полупроводников, является подвижность носителей заряда. Температурная зависимость подвижности носителей заряда  в  полупроводниках  определяется механизмами рассеяния носителей в кристалле. В идеальном полупроводнике с собственной проводимостью подвижность определяется рассеянием на тепловых колебаниях решетки (фононах),  поскольку идеальный собственный полупроводник - это полупроводник без  примесных  атомов и рассеяние на примесных атомах отсутствует. При анализе температурной зависимости подвижности необходимо учитывать,  является ли газ носителей невырожденным или вырожденным при данных условиях. Теоретические расчеты и оценки температурной зависимости подвижности носителей заряда в кристаллах при различных условиях схематически представлены на рис. 4.5.

В области высоких температур подвижность обратно пропорциональна Т^3/2 для невырожденного газа носителей и обратно пропорциональна Т для вырожденного газа носителей. В области низких температур подвижность невырожденного газа носителей пропорциональна Т^3/2 и не зависит от температуры для вырожденного газа носителей. В любом случае степенная зависимость от температуры подвижности носителей значительно слабее экспоненциальной температурной зависимости концентрации носителей заряда в собственных полупроводниках. Вследствие этого температурную зависимость удельной электропроводности собственных полупроводников согласно выражению (4.15) в первом приближении можно представить в виде

 

        

Рис. 4.5. Температурные зависимости подвижности невырожденного и вырожденного газа носителей

,            (4.17)

 

где s₀ - значение удельной электропроводности полупроводника при  T ® ¥.

Логарифмируя последнее равенство, получим

 

.            (4.18)

 

Таким образом, график зависимости от 1/Т представляет собой прямую  линию, тангенс  угла наклона которой к оси абсцисс пропорционален ширине запрещенной зоны. Это обстоятельство позволяет использовать данные по температурной зависимости электропроводности для нахождения ширины запрещенной зоны полупроводников.

 

4.4. Электропроводность примесных полупроводников

 

         Электропроводность примесного  полупроводника  называется примесной. Примеси могут весьма существенно влиять на  электрические свойства полупроводников. Например,  добавление в кремний бора в количестве одного атома на 10⁵ атомов кремния увеличивает проводимость при  комнатной  температуре  в 1000 раз.  Небольшая добавка примеси к полупроводнику называется легированием.

         Удельная электропроводность примесных полупроводников так же, как и для собственных полупроводников, определяется  концентрацией носителей заряда  в зоне проводимости и их подвижностью. Для донорного полупроводника при низких температурах основным поставщиком электронов  в зону проводимости являются донорные уровни примеси. За счет термического возбуждения электроны с донорных  уровней  примесных атомов переходят в зону проводимости.

         Концентрацию электронов проводимости в донорном полупроводнике при низких температурах можно определить, подставив выражение для уровня Ферми донорного полупроводника (см. формулу (3.27)) в соотношение (3.17), определяющее концентрацию электронов в зоне проводимости в зависимости от энергии Ферми. В результате вычислений придем к следующему выражению:

                                     

                                 .                                 (4.19)

 

Прологарифмировав это выражение, получим

 

                                                                    (4.20)

 

Так же, как и в случае собственных полупроводников, функция ln n от 1/T в области низких температур представляет собой прямую, однако тангенс угла наклона будет теперь определяться не шириной запрещенной зоны, а энергией активации донорных примесей E_d.

         При дальнейшем повышении температуры концентрация электронов в зоне проводимости становится сравнимой с концентрацией примеси N_d. Дальнейшее увеличение концентрации электронов в зоне проводимости за счет перехода в нее электронов с донорных уровней примеси становится невозможным. Это явление называют истощением примеси, а температура, при которой наступает истощение примеси, называется температурой истощения примеси и обозначается обычно T_s.  Температуру T_s  можно получить из равенства n = N_d, в результате

 

                               .                                              (4.21)

 

         При очень высоких  температурах  поведение  донорного полупроводника аналогично поведению собственного  полупроводника,  когда  приток электронов в  зону проводимости происходит за счет их перехода из валентной зоны, т.е. проводимость примесного полупроводника становится собственной (см. уравнение (4.16)). Температура перехода к собственной проводимости T_i определяется из условия равенства концентраций носителей в собственном полупроводнике и электронов в донорном полупроводнике:

 

.

Отсюда

                               .                                               (4.22)

        

Температурная зависимость  концентрации  электронов проводимости в  донорном  полупроводнике  представлена  схематически  на рис. 4.6. Участок а - б соответствует температурной области примесной проводимости. Тангенс угла наклона  a  определяется энергией активации донорных уровней . В области  б - в концентрация носителей заряда в зоне проводимости остается постоянной, т.к. примесные  уровни истощены, а энергии теплового возбуждения  еще  недостаточно  для  перехода электронов из валентной зоны в зону проводимости. Электроны могут преодолеть запрещенную зону начиная с температуры T_i (участок в - г). При этом (рис. 4.6).

Рис. 4.6. Температурная зависимость концентрации электронов в донорном полупроводнике

         Можно показать, что для температурной зависимости концентрации дырок в акцепторном полупроводнике справедливы  аналогичные  результаты.  В частности, концентрация дырок в валентной зоне

 

                                  ,                                  (4.23)

 

где N_a - концентрация акцепторных уровней;  E_a - энергия активации акцепторных уровней.

         Как подчеркивалось выше, для невырожденного и вырожденного газа носителей в полупроводниках любого типа температурная зависимость подвижностей электронов и дырок значительно слабее, чем температурная зависимость их концентраций. По этой причине температурная зависимость  удельной  электропроводности примесного полупроводника на участках примесной и собственной проводимости, где концентрация свободных носителей заряда экспоненциально зависит от температуры, в основном определяется зависимостью от температуры концентрации носителей заряда. На этих участках вид зависимости lns от 1/T не изменяется по сравнению с зависимостью lnn от 1/T. Практически не изменяются и угловые коэффициенты соответствующих зависимостей, определяемые энергиями активации примесных уровней и валентной зоны соответственно для примесной и собственной проводимости.

Подвижность носителей существенное влияние оказывает на температурную зависимость электропроводности примесного полупроводника  в  области  истощения примеси (участок б - в, рис. 4.6). В слаболегированных  полупроводниках  в  области  истощения примеси электропроводность даже уменьшается с ростом температуры, так как уменьшается подвижность носителей за счет механизма  рассеяния их на фононах.

Рис. 4.7. Схематические зависимости логарифма удельной электропроводности от обратной температуры примесных полупроводников с разной степенью легирования

Температурная зависимость логарифма удельной электропроводности от обратной температуры в зависимости от степени легирования схематически показана на рис. 4.7. Кривые 1, 2, 3 последовательно представляют зависимости  по мере увеличения степени легирования полупроводника. Для сильно легированного полупроводника (кривая 3 на рис. 4.7), в котором электронный газ является вырожденным, концентрация основных носителей вплоть до температуры перехода к собственной проводимости T_i3 слабо  зависит от температуры. Подвижность вырожденного газа носителей тоже не зависит от температуры, поэтому lns до температуры, близкой к T_i3, практически не зависит от температуры.